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Hihocoder1122 二分图二•二分图最大匹配之匈牙利算法

2018 年 07 月 31 日 • 阅读: 1455 • 图论阅读设置

二分图二•二分图最大匹配之匈牙利算法

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描述

上一回我们已经将所有有问题的相亲情况表剔除了,那么接下来要做的就是安排相亲了。因为过年时间并不是很长,所以姑姑希望能够尽可能在一天安排比较多的相亲。由于一个人同一天只能和一个人相亲,所以要从当前的相亲情况表里选择尽可能多的组合,且每个人不会出现两次。不知道有没有什么好办法,对于当前给定的相亲情况表,能够算出最多能同时安排多少组相亲呢?

同样的,我们先将给定的情况表转换成图G=(V,E)。在上一回中我们已经知道这个图可以被染成黑白两色。不妨将所有表示女性的节点记为点集A,表示男性的节点记为点集B。则有A∪B=V。由问题可知所有边e的两个端点分别属于AB两个集合。则可以表示成如下的图:

同样的,我们将所有的边分为两个集合。集合S和集合M,同样有S∪M=E。边集S表示在这一轮相亲会中将要进行的相亲,边集M表示在不在这一次进行。对于任意边(u,v) ∈ S,我们称u和v为一组匹配,它们之间相互匹配。在图G,我们将边集S用实线表示,边集M用虚线表示。得到下图:

则原问题转化为,最多能选择多少条边到集合S,使得S集合中任何两条边不相邻(即有共同的顶点)。显然的,|S|<=Min{|A|, |B|}。

那么能不能找到一个算法,使得能够很容易计算出尽可能多的边能够放入集合S?我们不妨来看一个例子:

对于已经匹配的点我们先不考虑,我们从未匹配的点来做。这里我们选择A集合中尚未匹配的点(A3和A4)考虑:

对于A3点,我们可以发现A3与B4右边相连,且都未匹配。则直接将(A3,B4)边加入集合S即可。

对于A4点,我们发现和A4相连的B3,B4点都已经匹配了。但是再观察可以发现,如果我们将A2和B2相连,则可以将B3点空出来。那么就可以同时将(A2,B2),(A4,B3)相连。将原来的一个匹配变成了两个匹配。

让我们来仔细看看这一步:我们将这次变换中相关联的边标记出来,如下图所示紫色的3条边(A2,B2),(A2,B3),(A4,B3)。

这三条边构成了一条路径,可以发现这条路径有个非常特殊的性质。虚线和实线相互交错,并且起点和终点都是尚未匹配的点,且属于两个不同的集合。我们称这样的路径为交错路径。

再进一步分析,对于任意一条交错路径,虚线的数量一定比实线的数量多1。我们将虚线和实线交换一下,就变成了下面的图:

在原来1个匹配的基础上,我们得到了2个新的匹配,S集合边的数量也增加了1。并且原来在已经匹配的点仍然是已经匹配的状态。

再回头看看A3点匹配时的情况:对于(A3,B4)这一条路径,同样满足了交错路径的性质。

至此我们得到了一个找新匹配的有效算法:

选取一个未匹配的点,查找是否存在一条以它为起点的交错路径。若存在,将该交错路径的边虚实交换。否则在当前的情况下,该点找不到可以匹配的点。

又有对于已经匹配的点,该算法并不会改变一个点的匹配状态。所以当我们对所有未匹配的点都计算过后,仍然没有交错路径,则不可能找到更多的匹配。此时S集合中的边数即为最大边数,我们称为最大匹配数。

那么我们再一次梳理整个算法:

  1. 依次枚举每一个点i;
  2. 若点i尚未匹配,则以此点为起点查询一次交错路径。

最后即可得到最大匹配数。

在这个基础上仍然有两个可以优化的地方:

1.对于点的枚举:当我们枚举了所有A中的点后,无需再枚举B中的点,就已经得到了最大匹配。
2.在查询交错路径的过程中,有可能出现Ai与Bj直接相连,其中Bj为已经匹配的点,且Bj之后找不到交错路径。之后又通过Ai查找到了一条交错路径{Ai,Bx,Ay,…,Az,Bj}延伸到Bj。由于之前已经计算过Bj没有交错路径,若此时再计算一次就有了额外的冗余。所以我们需要枚举每个Ai时记录B集合中的点是否已经查询过,起点不同时需要清空记录。

伪代码

Function FindPath(u)
    For v∈u的相邻节点
       标记v已经查询过
       If v未匹配 or FindPath(v的匹配的点) Then
            更改u的匹配为v
            Return Ture
        End If
    End For
Return False

For i ∈ V
    清空标记
   FindPath(i)
End If

输入

第1行:2个正整数,N,M(N表示点数 2≤N≤1,000,M表示边数1≤M≤5,000)
第2..M+1行:每行两个整数u,v,表示一条无向边(u,v)

输出

第1行:1个整数,表示最大匹配数

样例输入

5 4
3 2
1 3
5 4
1 5

样例输出

2

链接

http://hihocoder.com/problemset/problem/1122

题意

给定n个点m条边求二分图最大匹配。

题解

使用匈牙利算法。

代码

StatusAccepted
Time5ms
Length1451
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 1010;
const int maxm = 5010;

int n, m, tot;
bool vis[maxn];
int head[maxn], match[maxn];

struct Edge
{
    int to, next;
}edge[maxm<<1];

void init()
{
    tot = 0;
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    memset(match, 0, sizeof(match));
    memset(head, -1, sizeof(head));
}

void addedge(int u, int v)
{
    edge[tot].to = v;
    edge[tot].next = head[u];
    head[u] = tot++;
}

bool find(int u) // 匈牙利算法
{
    for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)
    {
        int v = edge[i].to;
        if (!vis[v]) // 未标记过
        {
             vis[v] = true;
             if (!match[v] || find(match[v])) // 没有匹配过或者能腾出位置来
             {
                 match[v] = u;
                 match[u] = v;
                 return true;
             }
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    int u, v;
    while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)
    {
        init();
        for (int i = 0; i < m; ++i)
        {
            scanf("%d%d", &u, &v);
            addedge(u, v);
            addedge(v, u);
        }
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            memset(vis, 0, sizeof(vis));
            if (!match[i]) // 当前还未匹配,不判断的话会重复计算
            {
                if (find(i)) // 每次匹配一个累加一个
                    ans++;
            }
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

注意这题给的是n个点m条边,以往的都是n个点与m个点之间连接e条边,有区别。


The end.
2018-07-31 星期二