二分图二•二分图最大匹配之匈牙利算法
- 时间限制:10000ms
- 单点时限:1000ms
- 内存限制:256MB
描述
上一回我们已经将所有有问题的相亲情况表剔除了，那么接下来要做的就是安排相亲了。因为过年时间并不是很长，所以姑姑希望能够尽可能在一天安排比较多的相亲。由于一个人同一天只能和一个人相亲，所以要从当前的相亲情况表里选择尽可能多的组合，且每个人不会出现两次。不知道有没有什么好办法，对于当前给定的相亲情况表，能够算出最多能同时安排多少组相亲呢？
同样的，我们先将给定的情况表转换成图G=(V,E)。在上一回中我们已经知道这个图可以被染成黑白两色。不妨将所有表示女性的节点记为点集A，表示男性的节点记为点集B。则有A∪B=V。由问题可知所有边e的两个端点分别属于AB两个集合。则可以表示成如下的图：
同样的，我们将所有的边分为两个集合。集合S和集合M，同样有S∪M=E。边集S表示在这一轮相亲会中将要进行的相亲，边集M表示在不在这一次进行。对于任意边(u,v) ∈ S，我们称u和v为一组匹配，它们之间相互匹配。在图G，我们将边集S用实线表示，边集M用虚线表示。得到下图：
则原问题转化为，最多能选择多少条边到集合S，使得S集合中任何两条边不相邻(即有共同的顶点)。显然的，|S|<=Min{|A|, |B|}。
那么能不能找到一个算法，使得能够很容易计算出尽可能多的边能够放入集合S？我们不妨来看一个例子：
对于已经匹配的点我们先不考虑，我们从未匹配的点来做。这里我们选择A集合中尚未匹配的点(A3和A4)考虑：
对于A3点，我们可以发现A3与B4右边相连，且都未匹配。则直接将(A3,B4)边加入集合S即可。
对于A4点，我们发现和A4相连的B3，B4点都已经匹配了。但是再观察可以发现，如果我们将A2和B2相连，则可以将B3点空出来。那么就可以同时将(A2,B2)，(A4,B3)相连。将原来的一个匹配变成了两个匹配。
让我们来仔细看看这一步：我们将这次变换中相关联的边标记出来，如下图所示紫色的3条边(A2,B2),(A2,B3),(A4,B3)。
这三条边构成了一条路径，可以发现这条路径有个非常特殊的性质。虚线和实线相互交错，并且起点和终点都是尚未匹配的点，且属于两个不同的集合。我们称这样的路径为交错路径。
再进一步分析，对于任意一条交错路径，虚线的数量一定比实线的数量多1。我们将虚线和实线交换一下，就变成了下面的图：
在原来1个匹配的基础上，我们得到了2个新的匹配，S集合边的数量也增加了1。并且原来在已经匹配的点仍然是已经匹配的状态。
再回头看看A3点匹配时的情况：对于(A3,B4)这一条路径，同样满足了交错路径的性质。
至此我们得到了一个找新匹配的有效算法：
选取一个未匹配的点，查找是否存在一条以它为起点的交错路径。若存在，将该交错路径的边虚实交换。否则在当前的情况下，该点找不到可以匹配的点。
又有对于已经匹配的点，该算法并不会改变一个点的匹配状态。所以当我们对所有未匹配的点都计算过后，仍然没有交错路径，则不可能找到更多的匹配。此时S集合中的边数即为最大边数，我们称为最大匹配数。
那么我们再一次梳理整个算法：
- 依次枚举每一个点i；
- 若点i尚未匹配，则以此点为起点查询一次交错路径。
最后即可得到最大匹配数。
在这个基础上仍然有两个可以优化的地方：
1.对于点的枚举：当我们枚举了所有A中的点后，无需再枚举B中的点，就已经得到了最大匹配。
2.在查询交错路径的过程中，有可能出现Ai与Bj直接相连，其中Bj为已经匹配的点，且Bj之后找不到交错路径。之后又通过Ai查找到了一条交错路径{Ai,Bx,Ay,…,Az,Bj}延伸到Bj。由于之前已经计算过Bj没有交错路径，若此时再计算一次就有了额外的冗余。所以我们需要枚举每个Ai时记录B集合中的点是否已经查询过，起点不同时需要清空记录。
伪代码
Function FindPath(u)
For v∈u的相邻节点
标记v已经查询过
If v未匹配 or FindPath(v的匹配的点) Then
更改u的匹配为v
Return Ture
End If
End For
Return False
For i ∈ V
清空标记
FindPath(i)
End If输入
第1行：2个正整数，N,M(N表示点数 2≤N≤1,000，M表示边数1≤M≤5,000)
第2..M+1行：每行两个整数u,v，表示一条无向边(u,v)
输出
第1行：1个整数，表示最大匹配数
样例输入
5 4
3 2
1 3
5 4
1 5样例输出
2链接
http://hihocoder.com/problemset/problem/1122
题意
给定n个点m条边求二分图最大匹配。
题解
使用匈牙利算法。
代码
| Status | Accepted |
|---|---|
| Time | 5ms |
| Length | 1451 |
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 1010;
const int maxm = 5010;
int n, m, tot;
bool vis[maxn];
int head[maxn], match[maxn];
struct Edge
{
int to, next;
}edge[maxm<<1];
void init()
{
tot = 0;
memset(vis, 0, sizeof(vis));
memset(match, 0, sizeof(match));
memset(head, -1, sizeof(head));
}
void addedge(int u, int v)
{
edge[tot].to = v;
edge[tot].next = head[u];
head[u] = tot++;
}
bool find(int u) // 匈牙利算法
{
for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)
{
int v = edge[i].to;
if (!vis[v]) // 未标记过
{
vis[v] = true;
if (!match[v] || find(match[v])) // 没有匹配过或者能腾出位置来
{
match[v] = u;
match[u] = v;
return true;
}
}
}
return false;
}
int main()
{
int u, v;
while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)
{
init();
for (int i = 0; i < m; ++i)
{
scanf("%d%d", &u, &v);
addedge(u, v);
addedge(v, u);
}
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
memset(vis, 0, sizeof(vis));
if (!match[i]) // 当前还未匹配，不判断的话会重复计算
{
if (find(i)) // 每次匹配一个累加一个
ans++;
}
}
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}注意这题给的是n个点m条边，以往的都是n个点与m个点之间连接e条边，有区别。
The end.
2018-07-31 星期二