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Hihocoder1394 网络流四·最小路径覆盖(二分图最大匹配)

2018 年 08 月 01 日 • 阅读: 1412 • 图论阅读设置

网络流四·最小路径覆盖

  • 时间限制:10000ms
  • 单点时限:1000ms
  • 内存限制:256MB

描述

国庆期间正是旅游和游玩的高峰期。

小Hi和小Ho的学习小组为了研究课题,决定趁此机会派出若干个调查团去沿途查看一下H市内各个景点的游客情况。

H市一共有N个旅游景点(编号1..N),由M条单向游览路线连接。在一个景点游览完后,可以顺着游览线路前往下一个景点。

为了避免游客重复游览同一个景点,游览线路保证是没有环路的。

每一个调查团可以从任意一个景点出发,沿着计划好的游览线路依次调查,到达终点后再返回。每个景点只会有一个调查团经过,不会重复调查。

举个例子:

上图中一共派出了3个调查团:

  1. 蓝色:调查景点;2
  2. 橙色:调查景点;1->3->4->6
  3. 绿色:调查景点;5->7

当然对于这个图还有其他的规划方式,但是最少也需要3个调查团。

由于小组内的人数有限,所以大家希望调查团的数量尽可能少,同时也要将所有的景点都进行调查。

当然,如何规划调查团线路的任务落到了小Hi和小Ho的头上。

提示:最小路径覆盖

输入

第1行:2个整数N,M。1≤N≤500,0≤M≤20,000。

第2..M+1行:2个数字u,v,表示一条有向边(u,v)。保证不会出现重复的边,且不存在环。

输出

第1行:1个整数,表示最少需要的调查团数量。

样例输入

7 7
1 2
1 3
2 4
3 4
4 5
4 6
5 7

样例输出

3

链接

http://hihocoder.com/problemset/problem/1394

题意

求有向无环图的最小路径覆盖。

题解

拆点转化为二分图最大匹配问题,答案为n减去最大匹配。

代码

StatusAccepted
Time88ms
Length983
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 510;
bool line[maxn][maxn];
int match[maxn];
bool vis[maxn];
int n, m;

bool find(int x)
{
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        if (line[x][i] && !vis[i])
        {
            vis[i] = true;
            if (!match[i] || find(match[i]))
            {
                match[i] = x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    int ans, u, v;
    while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)
    {
        memset(line, 0, sizeof(line));
        memset(match, 0, sizeof(match));
        for (int i = 1; i <= m; ++i)
        {
            scanf("%d%d", &u, &v);
            line[u][v] = 1;
        }
        ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            memset(vis, 0, sizeof(vis));
            if (find(i))
                ans++;
        }
        printf("%d\n", n - ans); // 点数减去最大匹配
    }
    return 0;
}

这种二分图最大匹配是属于n点m点e条边形式的。


The end.
2018-08-01 星期三

提示:最小路径覆盖

小Ho:所以这一次我们应该如何来解决这个问题呢?

小Hi:嗯,这次的问题被称为最小路径覆盖。给定一个有向无环图,用最少的路径数量去保证所有点都被覆盖住。

小Ho:既然有名字,那一定有固定的解法了?

小Hi:没错,最小路径覆盖的结果等于N-最大二分匹配

小Ho:二分匹配?这和二分匹配有什么关系?给定的有向图不一定是二分图吧。

小Hi:当然不是在原图上进行的二分匹配了。我们需要对原图进行转化,同时这一次我们还要学习如何用网络流去解决二分匹配的问题。

小Ho:好,你快给我讲讲。

小Hi:好的好的,你别急。我们先从例子来分析:

在这个例子中,我们选择的三条路径都被染上了颜色。你有发现什么特殊之处么?

小Ho:嗯...<小Ho思考了一小会儿>...并没有什么特别的地方啊?

小Hi:把黑色的边去掉,你再看看呢?主要注意的是每个点的出入度数量。

小Ho:对于一条路径,起点的入度为0,终点的出度为0,中间节点的出入度都为1。但这不是路径都应该具有的性质么?

小Hi:这个性质就是我们解决题目的关键!

每一个点最多只能有1个后继,同时每一个点最多只能有1个前驱。

假如我们选择了一条边(u,v),也就等价于把前驱u和后继v匹配上了。这样前驱u和后继v就不能和其他节点匹配。

小Ho:那就是一个前驱匹配一个后继?

小Hi:是的,利用这个我们可以这样来构图:

将每一个点拆分成2个,分别表示它作为前驱节点和后继节点。将所有的前驱节点作为A部,所有后继节点作为B部。

接下来进行连边,若原图中存在一条边(u,v),则连接A部的u和B部的v。

那么小Ho,你在这个上面做一个最大二分匹配怎么样?

小Ho:好!......完成了。

小Hi:不错,让我再把对应的颜色染出来:

其中实线表示被选中的匹配,虚线表示未被选中的。

有没有发现,和原图刚好有着对应的关系。未被选中的匹配也正好对应了原图中我们没有选择的黑色边。

小Ho:是的呢?这是为什么呢?

小Hi:其实原理很简单。我们进行的匹配是前驱和后继的匹配。假如存在选中的匹配(i,j)和(j,k)。则表示原图中存在一条路径(i,j,k)。

比如例子中的匹配(1,3),(3,4),(4,6)就对应了原图中的路径(1,3,4,6)。

这样在匹配结束的时候,我们就可以直接通过匹配的情况来确定选中的路径。

小Ho:这个我懂了,但是如何保证这样就能得到最小的路径覆盖呢?

小Hi:你想想,每一条路径起点有什么特殊的地方?

小Ho:路径的起点入度为0...哦!我知道了。

如果一个点是路径起点的话,它在B部的节点一定是没有匹配上的。

经过最大匹配算法后,B部剩下没有被匹配的点一定是最少的,也就对应了最小需要的路径数。

所以最小路径覆盖的结果才是N-最大匹配数。

小Hi:正是这样,这样问题也就解决了。接下来第二个问题,怎么用网络流来解决二分匹配呢?

小Ho:上一次我们讲了二分多重匹配,二分匹配不就是它的简化版么。

只需要把源点s到A部的边和B部到汇点t的边容量限定为1就可以了!

小Hi:嗯,那么就只差最后一步了。

小Ho:这我也知道!实现嘛,交给我吧!